Математика европейского Средневековья

В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения. А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений. Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940-1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.

Французский монах Герберт из Орильяка – первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов – во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии – Кордову и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.

Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие – также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. Герберт привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей.

В реймсской школе Герберта, кроме прочих наук, учили счету с применением счетной доски – абака, которую усовершенствовали путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами.

В то время существовало много способов счета. Были даже две враждующие партии: абакистов и алгоритмиков. Первые отличались требованием обязательного использования абака и двенадцатиричной римской нумерации. Алгоритмики пользовались индусскими цифрами, некоторые вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли шестидесятиричные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы арифметического счета, все более близкие к привычным нам системам и приемам.

Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев (Роберт II) получил корону Франции; Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году другой его ученик (Оттон III) стал императором Священной Римской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой.

В Риме нового папу многие восприняли как чернокнижника. Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски – абака и не пользуется римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные оргбны, а богословских споров избегает. Небывалый человек на престоле святого Петра!..

Не хватало широких контактов между католическим и исламским миром. Они начались только в эпоху Крестовых походов – в самом конце XI века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу Толедо. Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в Италии. Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или греческого языков труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел «Начала» Евклида и ряд книг Хорезми. Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.

Длинное название книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») арабы сократили до первого слова: получилось «Величие» – Аль-Магест. Новым европейцам понравилось второе слово в этом названии – «Учение» (Математика). И вот с XII века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.

В XII–XIII веках появились в Европе университеты. Самыми первыми были итальянские в Болонье и Салерно. Вслед за ними открылись университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367).

Эти учебные заведения были безраздельно подчинены церкви. Уровень математических познаний выпускников был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI века от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только клятва, что он знает шесть книг евклидовых «Начал».

В 1202 году Европа получила первый собственный учебник арифметики для широкого читателя, называвшийся «Книга Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180–1240). Арифметике он учился в Алжире у местных мусульман. Позднее Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «Книгу квадратов». В них впервые были изложены на латыни правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.

В «Книге Абака» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб (помните об алхимии). Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями». Завершается «Книга Абака» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкой к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.

Время, протекшее после работ Леонардо Фибоначчи вплоть до эпохи Возрождения, в историю математики не внесло ярких идей и больших открытий. Однако в эти столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Но что более важно, шла подготовка собственных кадров. Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых, а наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач влекло к новому научному подъему.

В этих условиях наметились два главных направления развития математики: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.

Еще современник Фибоначчи генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, ab=d и т. д.).

Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328–1382) обобщил понятие степени, введя дробные показатели степени, правила производства операций над ними и специальную символику, предваряя фактически идею логарифма.

В конце XV века бакалавр Парижского университета Н. Шюке, помимо дробного показателя степени, ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов образовано путем сокращения слов. Например, m – сокращение слова minus. Знаком корня служит R от слова radix, корень, знаком сложения – р.

В Англии развивал теорию ученый богослов Роберт Гросетест («Головастый»), епископ Линкольна (1175–1253), увлекавшийся к тому же оптикой. Он начал суммировать бесконечные ряды чисел и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов – медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки. Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин, вторым после Архимеда, на четыре столетия опережая Ньютона.

Гросетест считал, что античных классиков (особенно Аристотеля) нужно изучать в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, сделанным к тому же с арабских переводов. Поэтому Гросетест пригласил в Англию ученых греков – беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году. Так в Оксфорде и Кембридже появились первые греческие профессора.

Среди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор – организатор первого выборного парламента в Англии. Коллегой и соперником Роберта Гросетеста был Фома Аквинский (1225–1274), решивший следовать Аристотелю и Евклиду, чтобы изложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.

Жан Буридан (1300–1358) был профессором Парижского университета (Сорбонны). Многим известны рассказы о буридановом осле. Этот осел из теории ученого стоял между двух одинаковых кормушек с сеном и не мог решить, откуда поесть. И сдох. Эти мысленные эксперименты дают представление о попытках развития принципов доказательства.

Еще один профессор Сорбонны, Раймонд Луллий (1235–1315), прочел книги Аристотеля и Евклида глазами инженера; в результате появилась идея машины, автоматически выполняющей все арифметические действия с числами и логические операции над любыми утверждениями. Это был первый проект механического счетного устройства. Построить его Луллию не удалось: слишком низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире.

Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и XVI веках математики Южной Германии. Они разработали несколько систем символов, более удобных для записи математических действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к понятию логарифма.

Так же были очевидны успехи тригонометрии, явившиеся следствием развития астрономии. Факты тригонометрии были восприняты, как и другие факты математики, в большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле зрения европейских математиков оказывались достижения астрономов и математиков как Византии, так и более поздней арабской науки.

В XV веке, когда дальние плавания стали возможны, когда изученный мир стал расширяться и представления о нем быстро изменялись, резко возрос интерес к астрономии. Это была пора, непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Африки (1498), первому кругосветному плаванию (1519), открытию и доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473–1543). В 1461 году в Европе появилось сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436–1476), более известный как Региомонтан.

В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае геометрических несоизмеримостей, и прилагая алгебру к решению геометрических задач. Тем самым было открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач.

Региомонтан продолжил начатую ранее другими учеными работу по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таблица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в европейскую практику тригонометрические функции, получившие в XVII веке названия тангенса и котангенса, составив таблицу их значений.

В 1482 году в Венеции была впервые напечатана (по латыни) книга Евклида «Начала». С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.